Protégé de Lord Yehudi Menuhin et de Mstislav Rostropovich, Coppey a accédé pour la première fois à la notoriété internationale à l'âge de 18 ans, en remportant le premier prix et le "prix de la meilleure interprétation de Bach" au prestigieux concours Bach de Leipzig (1988). Peu après, il fait ses grands débuts à Paris et à Moscou en collaboration avec Yehudi Menuhin et Victoria Postnikova (filmés par le célèbre réalisateur Bruno Monsaingeon), et se produit au festival d'Évian à l'invitation personnelle de Mstislav Rostropovich. Depuis, Coppey s'est taillé une impressionnante carrière de soliste, travaillant régulièrement avec les plus grands orchestres et chefs d'orchestre du monde, parmi lesquels Alain Altinoglu, Lionel Bringuier, Lawrence Foster, Alan Gilbert, Kirill Karabits, Emmanuel Krivine, John Nelson, Pascal Rophé, Yan Pascal Tortelier, et Yutaka Sado. Il a été nommé Officier des Arts et des Lettres par le ministère français de la Culture en 2014.

L'étendue du répertoire de Coppey témoigne de sa profonde curiosité musicale : à côté de la littérature classique pour violoncelle, il se fait le champion d'œuvres moins connues et contemporaines. Il a donné les premières mondiales de concertos pour violoncelle de compositeurs aussi célèbres que Jacques Lenot, MarcMonnet, Eric Tanguy, et les premières françaises d'œuvres d'Elliott Carter, Mantovani et Erkki-Sven Tüür. Parmi les compositeurs qui ont dédié des œuvres à Coppey, on peut citer Lera Auerbach, Christophe Bertrand, Hugues Dufourt, Frédéric Durieux, Ivanedele, Philippe Fénelon, Philippe Hurel, Michael Jarrell, Betsy Jolas, Frank Krawczyk, Philippe Leroux, François Meïmoun, Brice Pauset, Enno Poppe, Thierry Pécou, Michèle Reverdy, Johannes Maria Staud et Frédéric Verrières. 

Parmi les événements récents et à venir, on peut citer des concerts en tant que soliste avec des orchestres tels que le Kansai Philharmonic Orchestra, l'Orchestre national du Capitole de Toulouse, l'Orchestre philharmonique de Monte-Carlo, l'Orchestre philharmonique de Radio-France, l'Orchestre philharmonique de Strasbourg, l'Orquestra Sinfónica do Porto de Casa da Música, l'Orchestre symphonique de la radio nationale polonaise (NOSPR) et l'Orchestre symphonique du Sichuan (Chine). En tant que chef d'orchestre, Coppey collabore avec la Deutsche Kammerakademie et l'Orchestre royal de chambre de Wallonie, parmi d'autres grands ensembles, et est directeur musical des Zagreb Soloists (2011-aujourd'hui). En 2021, Coppey a été artiste en résidence avec l'Orquestra Sinfónica do Porto Casa da Música, interprétant Dutilleux (avec John Storgårds), Dvořák (avec Vassily Sinaisky) et Elgar (avec Michael Sanderling), ainsi que Rhim (avec Peter Rundel) et Chostakovitch n° 1 (avec Stefan Blunier).

Coppey est un artiste discographique très apprécié, qui travaille exclusivement avec le label audite classics. En 2021, il a publié Shostakovich : CelloConcertos (avec l'Orchestre symphonique de la Radio polonaise/Lawrence Foster), et en 2022, Kodály : Music for Solo Cello, et The FrenchCello (Orchestre Philharmonique de Strasbourg/John Nelson). Ces trois albums ont reçu des critiques exceptionnelles, plaçant universellement Coppey au même niveau que les plus grands violoncellistes de l'histoire.

Les enregistrements de Coppey ont reçu un accueil enthousiaste de la part de la critique, notamment un Diapason d'Or et un "Choc" dans le Monde de la Musique pour son enregistrement du Concerto pour violoncelle de Dutilleux (avec l'Orchestre Philharmonie de Liège/Pascal Rophé), ainsi que le très recherché "ffff" de Télérama, parmi d'autres récompenses. Coppey a également beaucoup enregistré pour les labels Accord/Universal, Aeon/Outhere, Decca, Harmonia Mundi, K617, Mirare et Naïverecord. Dans la sphère du streaming, les performances de Coppey sont disponibles sur Arte.tv et Medici.tv.

Passionné par l'inspiration des futures générations de musiciens, Coppey est professeur au Conservatoire national supérieur de musique de Paris et est régulièrement invité à donner des masterclasses en Europe, en Asie et en Amérique du Nord et du Sud. Depuis octobre 2020, il est le directeur artistique de la Saline Royale Academy d'Arc-et-Senans, un nouvel établissement d'enseignement musical à la pointe de la technologie en France.

Marc Coppey est également un chambriste passionné, ancien membre du Quatuor Ysaÿe (1995-2000). Il est aujourd'hui directeur artistique du festival annuel Les Musicales de Colmar. Coppey collabore régulièrement avec des pianistes de renom tels que Nelson Goerner, Stephen Kovacevich, Kun-Woo Paik et Maria-João Pires, des instrumentistes à cordes de premier plan tels qu'Ilya Gringolts, Vadim Gluzman, Viktoria Mullova, Alina Pogostikina et Lawrence Power, ainsi qu'avec le flûtiste Emmanuel Pahud, qui jouit d'une renommée internationale. 

Marc Coppey joue sur un violoncelle de Matteo Gofriller (Venise, 1711), connu sous le nom de "Van Wilgenburg", et réside à Paris.